Екзаменаційні питання

Денна форма навчання, ФЕТ, РТК-94, IІ семестр (І курс, весняний семестр)

1. Формула для приросту функції, яка має похідну.
2. Означення диференціала функції. Геометричний зміст диференціала.
3. Інваріантність форми диференціала. Таблиця диференціалів.
4. Первісна. Теорема про первісні. Означення невизначеного інтеграла.
5. Таблиця невизначених інтегралів.
6. Властивості і правила знаходження невизначеного інтеграла.
7. Заміна змінної у невизначеному інтегралі.
8. Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі.
9. Інтегрування у скінченому вигляді.
10. Інтегрування простіших дробів перших трьох типів.
11. Рекурентна формула для I_n.
12. Теорема про розклад правильного дробу у вигляді суми простіших дробів.
13. Метод невизначених коефіцієнтів.
14. Інтегрування раціонального дробу.
15. Інтегрування диференціалів вигляду .
16. Інтегрування біноміальних диференціалів.
17. Інтегрування диференціалів вигляду R( sin x, cos x) dx. Універсальна підстановка.
18. Інтегрування диференціалів вигляду R( sin x, cos x) dx. Частинні випадки.
19. Задача про площу криволінійної трапеції.
20. Означення визначеного інтеграла. Класи інтегровних функцій.
21. Властивості 1-7 визначеного інтеграла.
22. Властивості 8, 9 визначеного інтеграла.
23. Визначений інтеграл як функція верхньої межі.
24. Формула Ньютона-Лейбніца.
25. Заміна змінної у визначеному інтегралі.
26. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
27. Знаходження площі фігури на площині (декартова прямокутна система координат, параметричне завдання).
28. Знаходження площі плоскої фігури (полярна система координат).
29. Диференціал і довжина дуги лінії (Декартові прямокутна система координат, параметричне завдання).
30. Диференціал і довжина дуги лінії (полярна система координат).
31. Знаходження роботи і пройденого шляху за допомогою визначеного інтеграла.

---

32. Означення функції двох змінних. Аналітичне завдання. Область визначення. Графік функції.
33. Границя і неперервність функції двох змінних в точці. Властивості неперервної в області функції.
34. Частинний приріст, частинна похідна, частинний диференціал функції двох змінних.
35. Повний приріст функції двох змінних. Формула для повного приросту.
36. Повний диференціал функції двох змінних. Диференційованість функції двох змінних.
37. Геометричний зміст частинних похідних.
38. Дотична площина до графіка функції двох змінних. Рівняння дотичної площини. Геометричний зміст повного диференціала.
39. Рівняння нормалі до графіка функції двох змінних.
40. Похідна складеної функції.
41. Похідна функції заданої неявно.
42. Рівняння дотичної площини і нормалі у випадку наявного задання функції двох змінних.
43. Похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних.

---

44. Теорема існування і єдиності розв'язку диференціального рівняння y' = f(x, y).
45. Поняття загального розв’язку, загального інтеграла, загального інтеграла, частинного розв’язку, частинного інтеграла рівняння y' = f(x, y).
46. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
47. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
48. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
49. Теорема існування і єдиності розв'язку диференціального рівняння y'' = f(x, y, y'). Загальний розв’язок, загальний інтеграл, частинний розв’язок, частинний інтеграл.
50. Інтегрування диференціальних рівнянь y'' = f(x), y'' = f(x, y').
51. Інтегрування диференціального рівняння y'' = f(y, y').
52. Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОРД) 2-го порядку. Означення. Умови існування і єдиності розв’язку.
53. Теорема по лінійну комбінацію розв’язків ЛОРД 2-го порядку.
54. Лінійна залежність двох розв’язків ЛОРД 2-го порядку. Визначник Вронського. Теорема про визначник Вронського.
55. Вигляд загального розв’язку ЛОРД 2-го порядку.
56. ЛОРД 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. Загальний розв’язок у випадку дійсних коренів характеристичного рівняння.
57. ЛОРД 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Загальний розв’язок у випадку комплексних коренів характеристичного рівняння.
58. ЛНДР 2-го порядку. Вигляд загального розв’язку.
59. ЛНДР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. Знаходження частинного розв’язку у випадку f(x) = P_n(x) e^αx.
60. ЛНДР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. Знаходження частинного розв’язку у випадку f(x) = P_n(x) e^αx cos βx + Q_m(x) e^αx sin βx.